Quadratura Numérica - fempack Documentation

Para calcular as integrais nas matrizes locais, usamos regras de quadratura numérica.

Princípio Geral¶

Uma regra de quadratura aproxima uma integral por uma soma ponderada:

\int_{\hat K} g(\hat{\mathbf{x}}) \, d\hat{\mathbf{x}} \approx \sum_{q=1}^{n_q} w_q g(\hat{\mathbf{x}}_q)

onde:

$\hat{\mathbf{x}}_q$ são os pontos de quadratura (quadrature points)
$w_q$ são os pesos de quadratura (quadrature weights)
$n_q$ é o número de pontos de quadratura

Quadratura em 1D (Gauss-Legendre)¶

Para o intervalo $[0, 1]$ , usamos pontos e pesos de Gauss-Legendre transformados.

Gauss-1 (ponto médio)¶

\hat x_0 = \frac{1}{2}, \quad w_0 = 1

Exata para polinômios de grau $\leq 1$ .

Gauss-2¶

\hat x_0 = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{6}, \quad \hat x_1 = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{6}

w_0 = \frac{1}{2}, \quad w_1 = \frac{1}{2}

Exata para polinômios de grau $\leq 3$ .

Gauss-3¶

\hat x_0 = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{15}}{10}, \quad \hat x_1 = \frac{1}{2}, \quad \hat x_2 = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{15}}{10}

w_0 = \frac{5}{18}, \quad w_1 = \frac{4}{9}, \quad w_2 = \frac{5}{18}

Exata para polinômios de grau $\leq 5$ .

Quadratura em Triângulos¶

Para o triângulo de referência $\hat K = \{(\hat x, \hat y) : \hat x, \hat y \geq 0, \hat x + \hat y \leq 1\}$ .

Ordem 1 (centroide)¶

(\hat x_0, \hat y_0) = \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right), \quad w_0 = \frac{1}{2}

Exata para polinômios de grau $\leq 1$ .

Ordem 2 (3 pontos)¶

(\hat x_i, \hat y_i) = \left(\frac{1}{6}, \frac{1}{6}\right), \left(\frac{2}{3}, \frac{1}{6}\right), \left(\frac{1}{6}, \frac{2}{3}\right)

w_i = \frac{1}{6}, \quad i = 0, 1, 2

Exata para polinômios de grau $\leq 2$ .

Ordem 3 (4 pontos)¶

(\hat x_0, \hat y_0) = \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right), \quad w_0 = -\frac{9}{32}

(\hat x_i, \hat y_i) = \left(\frac{1}{5}, \frac{1}{5}\right), \left(\frac{3}{5}, \frac{1}{5}\right), \left(\frac{1}{5}, \frac{3}{5}\right), \quad w_i = \frac{25}{96}

Exata para polinômios de grau $\leq 3$ .

Quadratura em Quadriláteros¶

Para o quadrado de referência $\hat K = [0, 1] \times [0, 1]$ , usamos produto tensorial de regras 1D.

Gauss 2×2 (4 pontos)¶

Para Gauss-2 em cada direção:

\hat x_i = \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{6}, \quad \hat y_j = \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{6}

Pontos:

(\hat x, \hat y)_{ij} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{6}, \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{6}\right), \ldots

Pesos:

w_{ij} = \frac{1}{4}

Exata para polinômios de grau $\leq 3$ em cada variável.

Gauss 3×3 (9 pontos)¶

Para Gauss-3 em cada direção, obtemos 9 pontos. Exata para polinômios de grau $\leq 5$ em cada variável.

Escolha da Ordem de Quadratura¶

Para integrar corretamente:

Matriz de rigidez: Para P1/Q1, o integrando tem grau 0 (gradientes constantes para P1) ou 1 (Q1). Para P2, grau 2.
Matriz de massa: Para P1, o integrando tem grau 2. Para P2, grau 4. Para Q1, grau 2 em cada variável.
Vetor de carga: Depende do grau de $f$ e das funções de forma.

Regra prática: Use ordem de quadratura $\geq$ grau do integrando dividido por 2 (arredondado para cima).

Implementação no fempack¶

O módulo fempack.quadrature fornece:

gauss_legendre_interval(n): Pontos e pesos para intervalo
triangle_quadrature(order): Pontos e pesos para triângulo
quad_quadrature(n): Pontos e pesos para quadrilátero (produto tensorial)

Exemplo:

from fempack.quadrature import gauss_legendre_interval

points, weights = gauss_legendre_interval(2)  # Gauss-2