Condições de Contorno de Dirichlet

Após a montagem do sistema global, precisamos impor as condições de contorno de Dirichlet antes de resolver o sistema linear.

Problema¶

O sistema montado é:

\mathbf{A} \mathbf{u} = \mathbf{b}

(1)

Para condições de contorno não-homogêneas $u = g$ nos nós de fronteira, precisamos:

Fixar os valores de $u_i = g_i$ para nós $i \in \partial\Omega$
Modificar o sistema para acomodar esses valores conhecidos

Métodos de Imposição¶

Método 1: Eliminação Direta¶

Separe os graus de liberdade em:

Livres ( $\mathcal{F}$ ): Nós internos onde $u$ é desconhecido
Fixos ( $\mathcal{D}$ ): Nós de fronteira onde $u = g$ é conhecido

O sistema pode ser particionado:

\begin{bmatrix} \mathbf{A}_{\mathcal{FF}} & \mathbf{A}_{\mathcal{FD}} \\ \mathbf{A}_{\mathcal{DF}} & \mathbf{A}_{\mathcal{DD}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{u}_{\mathcal{F}} \\ \mathbf{u}_{\mathcal{D}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{b}_{\mathcal{F}} \\ \mathbf{b}_{\mathcal{D}} \end{bmatrix}

(2)

Resolvemos apenas:

\mathbf{A}_{\mathcal{FF}} \mathbf{u}_{\mathcal{F}} = \mathbf{b}_{\mathcal{F}} - \mathbf{A}_{\mathcal{FD}} \mathbf{u}_{\mathcal{D}}

(3)

Método 2: Penalização¶

Modifique as linhas correspondentes aos nós de Dirichlet:

A[i, :] = [0, \ldots, 0, 1, 0, \ldots, 0], \quad b[i] = g_i

(4)

onde o 1 está na posição $(i, i)$ .

Alternativamente, use um valor grande $\alpha \gg 1$ :

A[i, i] = \alpha, \quad b[i] = \alpha g_i

(5)

Método 3: Substituição de Linhas e Colunas (Usado no fempack)¶

Para cada nó $i$ com condição de Dirichlet $u_i = g_i$ :

Modifique a linha $i$ :
- $A[i, j] = 0$ para $j \neq i$
- $A[i, i] = 1$
- $b[i] = g_i$
Modifique a coluna $i$ nas outras linhas:
- Para $j \neq i$ : $b[j] = b[j] - A[j, i] \cdot g_i$
- Para $j \neq i$ : $A[j, i] = 0$

Isso garante que:

A linha $i$ fornece $u_i = g_i$ diretamente
As outras equações são ajustadas para levar em conta o valor conhecido $u_i = g_i$

Algoritmo de Imposição¶

Para cada nó i com condição de Dirichlet u_i = g_i:
    # Ajustar outras linhas
    Para cada j != i:
        b[j] -= A[j, i] * g_i
        A[j, i] = 0

    # Modificar linha i
    A[i, :] = 0
    A[i, i] = 1
    b[i] = g_i

Identificação dos Nós de Fronteira¶

Para malhas estruturadas ou simples, os nós de fronteira podem ser identificados por:

1D: Nós nas extremidades do intervalo
2D: Nós com $x = x_{\min}$ , $x = x_{\max}$ , $y = y_{\min}$ , ou $y = y_{\max}$

Para malhas gerais, pode-se usar uma tolerância:

\text{na fronteira} \iff |\mathbf{x} - \mathbf{x}_{\text{bnd}}| < \epsilon

(6)

Exemplo 1D¶

Sistema original com 4 nós:

\frac{1}{h} \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_0 \\ u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_0 \\ b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix}

(7)

Impondo $u_0 = g_0$ e $u_3 = g_3$ :

Modificar linha 0 e ajustar coluna 0:
- Linha 1: $b_1 \leftarrow b_1 - A[1,0] \cdot g_0 = b_1 + \frac{1}{h} g_0$
Modificar linha 3 e ajustar coluna 3:
- Linha 2: $b_2 \leftarrow b_2 - A[2,3] \cdot g_3 = b_2 + \frac{1}{h} g_3$

Sistema resultante:

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2/h & -1/h & 0 \\ 0 & -1/h & 2/h & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_0 \\ u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} g_0 \\ b_1 + g_0/h \\ b_2 + g_3/h \\ g_3 \end{bmatrix}

(8)

Implementação no fempack¶

O módulo fempack.bcs fornece:

apply_dirichlet_bc(): Aplica condições de Dirichlet usando o método de substituição
get_boundary_nodes(): Identifica nós na fronteira

Exemplo:

from fempack.bcs import apply_dirichlet_bc

# Aplicar u = 0 em toda a fronteira
A_bc, b_bc = apply_dirichlet_bc(A, b, mesh, lambda x: 0.0)

# Resolver sistema modificado
u = spsolve(A_bc, b_bc)