Análise de Erros e Verificação

Para verificar a implementação do método de elementos finitos, calculamos erros entre a solução numérica $u_h$ e a solução exata $u$ .

Normas de Erro¶

Definimos as seguintes normas de erro:

Norma $L^2$ ¶

\|e\|_{L^2(\Omega)} = \sqrt{\int_\Omega (u - u_h)^2 \, d\mathbf{x}}

(1)

Para calcular numericamente:

\|e\|_{L^2}^2 \approx \sum_{K} \int_K (u - u_h)^2 \, d\mathbf{x} = \sum_{K} \sum_q w_q |u(\mathbf{x}_q) - u_h(\mathbf{x}_q)|^2 |J_K(\hat{\mathbf{x}}_q)|

(2)

onde:

$u(\mathbf{x}_q)$ é a solução exata avaliada no ponto de quadratura
$u_h(\mathbf{x}_q) = \sum_i u_i N_i(\mathbf{x}_q)$ é a solução numérica interpolada

Seminorma $H^1$ (Gradiente)¶

|e|_{H^1(\Omega)} = \sqrt{\int_\Omega |\nabla(u - u_h)|^2 \, d\mathbf{x}}

(3)

Numericamente:

|e|_{H^1}^2 \approx \sum_{K} \sum_q w_q |\nabla u(\mathbf{x}_q) - \nabla u_h(\mathbf{x}_q)|^2 |J_K(\hat{\mathbf{x}}_q)|

(4)

onde:

\nabla u_h(\mathbf{x}_q) = \sum_i u_i \nabla N_i(\mathbf{x}_q)

(5)

Norma $H^1$ (Completa)¶

\|e\|_{H^1(\Omega)} = \sqrt{\|e\|_{L^2}^2 + |e|_{H^1}^2}

(6)

Norma do Máximo ( $L^\infty$ )¶

\|e\|_{L^\infty(\Omega)} = \max_{\mathbf{x} \in \Omega} |u(\mathbf{x}) - u_h(\mathbf{x})|

(7)

Aproximadamente:

\|e\|_{L^\infty} \approx \max_i |u(\mathbf{x}_i) - u_i|

(8)

onde a maximização é feita sobre todos os nós.

Taxas de Convergência¶

Para uma família de malhas com tamanho característico $h \to 0$ , esperamos:

\|u - u_h\|_{L^2} = \mathcal{O}(h^{p+1})

(9)

|u - u_h|_{H^1} = \mathcal{O}(h^p)

(10)

onde $p$ é o grau polinomial do espaço de elementos finitos:

P1/Q1: $p = 1$ , então $L^2$ converge como $h^2$ e $H^1$ como $h^1$
P2: $p = 2$ , então $L^2$ converge como $h^3$ e $H^1$ como $h^2$

Estimativa Experimental da Taxa¶

Para estimar a taxa de convergência experimentalmente, considere duas malhas com tamanhos $h_1 > h_2$ :

\text{taxa} = \frac{\log(E_1 / E_2)}{\log(h_1 / h_2)}

(11)

onde $E_1$ e $E_2$ são os erros correspondentes.

Se plotarmos $\log E$ vs $\log h$ , a inclinação da reta é a taxa de convergência.

Method of Manufactured Solutions (MMS)¶

Para verificar a implementação:

Escolha uma solução exata $u(\mathbf{x})$ suave
Calcule o termo fonte correspondente:
$f(\mathbf{x}) = -\nabla^2 u(\mathbf{x})$
(12)
Resolva o problema de elementos finitos com $f$ e condições de contorno $g = u|_{\partial\Omega}$
Calcule os erros comparando $u_h$ com $u$
Verifique as taxas de convergência refinando a malha

Exemplo 1D¶

Solução manufaturada:

u(x) = \sin(\pi x)

(13)

Termo fonte:

f(x) = -u''(x) = \pi^2 \sin(\pi x)

(14)

Condições de contorno em $[0, 1]$ :

u(0) = 0, \quad u(1) = 0

(15)

Exemplo 2D¶

Solução manufaturada:

u(x, y) = \sin(2\pi x) \sin(2\pi y)

(16)

Termo fonte:

f(x, y) = -\nabla^2 u = 8\pi^2 \sin(2\pi x) \sin(2\pi y)

(17)

Condições de contorno em $[0, 1] \times [0, 1]$ :

u = 0 \text{ em } \partial\Omega

(18)

Teste de Convergência¶

Algoritmo típico:

for h in [h1, h2, h3, ...]:  # Sequência de malhas cada vez mais finas
    mesh = create_mesh(h)
    A = assemble_stiffness(mesh, space)
    b = assemble_load(mesh, space, f)
    A_bc, b_bc = apply_dirichlet_bc(A, b, mesh, g)
    u_h = solve(A_bc, b_bc)

    error_L2 = compute_L2_error(u_h, u_exact, mesh, space)
    error_H1 = compute_H1_error(u_h, u_exact, grad_u_exact, mesh, space)

    print(f"h={h:.4f}, L2={error_L2:.6e}, H1={error_H1:.6e}")

# Plotar log(erro) vs log(h) e verificar inclinação

Para elementos P1/Q1, esperamos:

Inclinação $\approx 2$ para erro $L^2$
Inclinação $\approx 1$ para erro $H^1$

Implementação no fempack¶

O módulo fempack.verification fornece:

compute_l2_error(): Calcula $\|u - u_h\|_{L^2}$
compute_h1_error(): Calcula $|u - u_h|_{H^1}$
compute_errors(): Calcula múltiplas normas de uma vez
convergence_study(): Automatiza estudos de convergência

Exemplo:

from fempack.verification import compute_l2_error, compute_h1_error

error_L2 = compute_l2_error(u_h, mesh, space, u_exact)
error_H1 = compute_h1_error(u_h, mesh, space, u_exact, grad_u_exact)

print(f"||e||_L2 = {error_L2:.6e}")
print(f"|e|_H1 = {error_H1:.6e}")

Os notebooks em notebooks/ demonstram estudos completos de convergência para diferentes tipos de elementos.