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Elementos de Referência

LNCC - Laboratório Nacional de Computação Científica

O fempack implementa vários elementos de referência. Esta seção descreve as funções de forma em cada elemento de referência.

P1 no Intervalo

Domínio de referência: K^=[0,1]\hat K = [0, 1]

Graus de liberdade: Valores nos vértices x^0=0\hat x_0 = 0 e x^1=1\hat x_1 = 1

Funções de forma:

N^0(x^)=1−x^,N^1(x^)=x^\hat N_0(\hat x) = 1 - \hat x, \quad \hat N_1(\hat x) = \hat x
(1)

Gradientes:

dN^0dx^=−1,dN^1dx^=1\frac{d\hat N_0}{d\hat x} = -1, \quad \frac{d\hat N_1}{d\hat x} = 1
(2)

P2 no Intervalo

Domínio de referência: K^=[0,1]\hat K = [0, 1]

Graus de liberdade: Valores nos vértices x^0=0\hat x_0 = 0, x^1=1\hat x_1 = 1 e no ponto médio x^2=1/2\hat x_2 = 1/2

Funções de forma:

N^0(x^)=(1−x^)(1−2x^)\hat N_0(\hat x) = (1 - \hat x)(1 - 2\hat x)
(3)
N^1(x^)=x^(2x^−1)\hat N_1(\hat x) = \hat x(2\hat x - 1)
(4)
N^2(x^)=4x^(1−x^)\hat N_2(\hat x) = 4\hat x(1 - \hat x)
(5)

Gradientes:

dN^0dx^=4x^−3\frac{d\hat N_0}{d\hat x} = 4\hat x - 3
(6)
dN^1dx^=4x^−1\frac{d\hat N_1}{d\hat x} = 4\hat x - 1
(7)
dN^2dx^=4−8x^\frac{d\hat N_2}{d\hat x} = 4 - 8\hat x
(8)

P1 no Triângulo

Domínio de referência: K^={(x^,y^):x^≥0,y^≥0,x^+y^≤1}\hat K = \{(\hat x, \hat y) : \hat x \geq 0, \hat y \geq 0, \hat x + \hat y \leq 1\}

Vértices: x^0=(0,0)\hat{\mathbf{x}}_0 = (0, 0), x^1=(1,0)\hat{\mathbf{x}}_1 = (1, 0), x^2=(0,1)\hat{\mathbf{x}}_2 = (0, 1)

Funções de forma:

N^0(x^,y^)=1−x^−y^\hat N_0(\hat x, \hat y) = 1 - \hat x - \hat y
(9)
N^1(x^,y^)=x^\hat N_1(\hat x, \hat y) = \hat x
(10)
N^2(x^,y^)=y^\hat N_2(\hat x, \hat y) = \hat y
(11)

Gradientes:

∇N^0=[−1−1],∇N^1=[10],∇N^2=[01]\nabla \hat N_0 = \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \end{bmatrix}, \quad \nabla \hat N_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \nabla \hat N_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}
(12)

Q1 no Quadrilátero

Domínio de referência: K^=[0,1]×[0,1]\hat K = [0, 1] \times [0, 1]

Vértices: x^0=(0,0)\hat{\mathbf{x}}_0 = (0, 0), x^1=(1,0)\hat{\mathbf{x}}_1 = (1, 0), x^2=(1,1)\hat{\mathbf{x}}_2 = (1, 1), x^3=(0,1)\hat{\mathbf{x}}_3 = (0, 1)

Funções de forma (tensor product):

N^0(x^,y^)=(1−x^)(1−y^)\hat N_0(\hat x, \hat y) = (1 - \hat x)(1 - \hat y)
(13)
N^1(x^,y^)=x^(1−y^)\hat N_1(\hat x, \hat y) = \hat x(1 - \hat y)
(14)
N^2(x^,y^)=x^y^\hat N_2(\hat x, \hat y) = \hat x \hat y
(15)
N^3(x^,y^)=(1−x^)y^\hat N_3(\hat x, \hat y) = (1 - \hat x)\hat y
(16)

Gradientes:

∇N^0=[−(1−y^)−(1−x^)],∇N^1=[1−y^−x^]\nabla \hat N_0 = \begin{bmatrix} -(1 - \hat y) \\ -(1 - \hat x) \end{bmatrix}, \quad \nabla \hat N_1 = \begin{bmatrix} 1 - \hat y \\ -\hat x \end{bmatrix}
(17)
∇N^2=[y^x^],∇N^3=[−y^1−x^]\nabla \hat N_2 = \begin{bmatrix} \hat y \\ \hat x \end{bmatrix}, \quad \nabla \hat N_3 = \begin{bmatrix} -\hat y \\ 1 - \hat x \end{bmatrix}
(18)

Implementação no fempack

No código, as funções de forma e gradientes são implementadas nos módulos:

Teoria
Formulação Variacional
Teoria
Mapeamentos Geométricos