Formulação Variacional - fempack Documentation

Problema de Poisson¶

Considere o problema de Poisson em um domínio $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ , $d = 1, 2$ :

\begin{cases} -\nabla^2 u = f & \text{em } \Omega, \\ u = g & \text{em } \partial\Omega, \end{cases}

onde:

Multiplicando a equação diferencial por uma função teste $v \in H^1_0(\Omega)$ e integrando por partes:

\int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v \, dx = \int_\Omega f v \, dx

O espaço de funções é:

V = \{ v \in H^1(\Omega) : v = 0 \text{ em } \partial\Omega \}

Para condições de contorno não-homogêneas, buscamos $u \in H^1(\Omega)$ tal que $u = g$ em $\partial\Omega$ e:

a(u, v) = L(v), \quad \forall v \in V

onde:

a(u, v) = \int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v \, dx, \quad L(v) = \int_\Omega f v \, dx

Substituindo $V$ por um espaço de dimensão finita $V_h \subset V$ :

V_h = \text{span}\{\varphi_1, \ldots, \varphi_N\}

A solução aproximada é:

u_h = \sum_{j=1}^N u_j \varphi_j

Testando com as funções de base $\varphi_i$ :

\sum_{j=1}^N a(\varphi_j, \varphi_i) u_j = L(\varphi_i), \quad i = 1, \ldots, N

Isso resulta no sistema linear:

\mathbf{A} \mathbf{u} = \mathbf{b}

onde:

A_{ij} = a(\varphi_j, \varphi_i) = \int_\Omega \nabla \varphi_j \cdot \nabla \varphi_i \, dx

b_i = L(\varphi_i) = \int_\Omega f \varphi_i \, dx