fempack.solvers

Interfaces para resolvedores de sistemas lineares.

Funções¶

solve_direct(A, b)¶

Resolve sistema linear usando resolvedor direto esparso.

Parâmetros:

• A: Matriz do sistema (esparsa ou densa)

• b: Vetor do lado direito

Retorna: Array NumPy com vetor solução

Usa: scipy.sparse.linalg.spsolve

Adequado para: Sistemas pequenos a médios onde precisão é importante

solve_cg(A, b, rtol=1e-8, maxiter=None)¶

Resolve sistema simétrico positivo definido com CG (Gradiente Conjugado).

Parâmetros:

• A: Matriz do sistema (esperada SPD)

• b: Vetor do lado direito

• rtol: Tolerância de convergência relativa (padrão: 1e-8)

• maxiter: Número máximo de iterações ou None para padrão

Retorna: Array NumPy com vetor solução aproximado

Lança: RuntimeError se o resolvedor não convergir

Usa: scipy.sparse.linalg.cg

solve_gmres(A, b, rtol=1e-8, maxiter=None)¶

Resolve sistema geral não-simétrico com GMRES.

Parâmetros:

• A: Matriz do sistema

• b: Vetor do lado direito

• rtol: Tolerância de convergência relativa (padrão: 1e-8)

• maxiter: Número máximo de iterações ou None para padrão

Retorna: Array NumPy com vetor solução aproximado

Lança: RuntimeError se o resolvedor não convergir

Usa: scipy.sparse.linalg.gmres

Exemplo¶

from fempack.mesh import Mesh
from fempack.spaces import FunctionSpace
from fempack.assemble import assemble_stiffness, assemble_load
from fempack.bcs import apply_dirichlet
from fempack.solvers import solve_direct, solve_cg
import numpy as np

# Configurar problema
mesh = Mesh.unit_interval(100)
V = FunctionSpace(mesh)
A = assemble_stiffness(V)
f = lambda x: 1.0
b = assemble_load(V, f)

# Aplicar BCs
A_bc, b_bc = apply_dirichlet(A, b, V)

# Resolvedor direto (exato)
u_direct = solve_direct(A_bc, b_bc)

# Gradiente conjugado (iterativo, mais rápido para sistemas grandes)
u_cg = solve_cg(A_bc, b_bc, rtol=1e-10)

# GMRES (para matrizes não-simétricas)
u_gmres = solve_gmres(A_bc, b_bc, rtol=1e-10, maxiter=1000)

print(f"Solução: {u_direct.shape}")
print(f"Erro CG vs Direto: {np.linalg.norm(u_cg - u_direct):.2e}")

Veja o código fonte.