fempack.bcs

Imposição de condições de contorno de Dirichlet.

Funções¶

apply_dirichlet(A, b, V, nodes=None, g=None)¶

Aplica condições de contorno de Dirichlet por modificação de linhas/colunas.

Parâmetros:

• A: Matriz de rigidez (ou sistema) global - pode ser esparsa ou densa

• b: Vetor do lado direito

• V: Espaço de elementos finitos (FunctionSpace)

• nodes: Sequência de índices de nós globais onde condições de Dirichlet são aplicadas. Se None, todos os nós de fronteira da malha são usados.

• g: Dados de Dirichlet. Se None, condições homogêneas são aplicadas.

  • Se callable: avaliado como g(x) em 1D ou g(x, y) em 2D nos nós de fronteira

  • Se array: pode ser vetor completo de comprimento N (do qual entradas de fronteira são extraídas) ou de comprimento len(nodes)

Retorna: (A_bc, b_bc) - Matriz e lado direito modificados com condições de Dirichlet impostas fortemente

Método de Imposição¶

A implementação segue a abordagem padrão:

1. Ajustar lado direito para condições não-homogêneas: $b \leftarrow b - A[:, \text{nodes}] \cdot g_{\text{vec}}$

2. Zerar linhas e colunas correspondentes e definir entradas diagonais unitárias para nós de Dirichlet

3. Definir $b[i] = g_i$ para cada nó de Dirichlet

Exemplo¶

from fempack.mesh import Mesh
from fempack.spaces import FunctionSpace
from fempack.assemble import assemble_stiffness, assemble_load
from fempack.bcs import apply_dirichlet
import numpy as np

# Configurar problema
mesh = Mesh.unit_interval(10)
V = FunctionSpace(mesh)
A = assemble_stiffness(V)
f = lambda x: np.pi**2 * np.sin(np.pi * x)
b = assemble_load(V, f)

# Aplicar u = 0 na fronteira (condições homogêneas)
A_bc, b_bc = apply_dirichlet(A, b, V, nodes=None, g=None)

# Aplicar condições não-homogêneas: u = sin(π*x) na fronteira
g_func = lambda x: np.sin(np.pi * x)
A_bc, b_bc = apply_dirichlet(A, b, V, g=g_func)

# Aplicar em nós específicos
boundary_nodes = mesh.boundary_nodes()
A_bc, b_bc = apply_dirichlet(A, b, V, nodes=boundary_nodes, g=0.0)

Veja o código fonte.